Mengen

Mengen sind Ansammlungen von Elementen, zum Beispiel ℕ die Menge der natürlichen Zahlen, ℝ die Menge der reellen Zahlen oder {1,2,17} die Menge, die die Zahlen 1, 2 und 17 enthält. Wenn es bei Gleichungen mehr als eine Zahl gibt, die die Gleichung löst, so bilden diese Zahlen eine Lösungsmenge der Gleichung.

Mengenoperatoren

Mit ∈ prüft man, ob ein Element zu einer Menge gehört. Überlegen Sie erst, ob die folgenden Beispiele true oder false sind, bevor Sie das ausführen:

1 ∈ {1,2,3}

1.000001 ∈ {1,2,3}

Die Elemente müssen keine Zahlen sein, sondern können auch Buchstaben, Autos, Strings, Menschen oder sonst irgendetwas sein. Zum Rechnen muss man sie nur irgendwie aufschreiben können. (Die Buchstaben m, n, o, p sind in diesem Kurs als Variablen vordefiniert. Falls Sie andere Buchstaben verwenden wollten, müssten Sie die erst als Variablen definieren.)

Jedes Element kommt in einer Menge maximal einmal vor. Die Reihenfolge, in der die Elemente geschrieben werden, ist egal.

Aufgabe

Wie viele Elemente haben die folgenden Mengen? Überlegen Sie erst, bevor Sie sich die Lösungen ansehen.

Vereinigungs-, Schnitt- und Teilmenge

Die Vereinigung (oder Vereinigungsmenge) zweier Mengen enthält alle Elemente, die in einer der beiden Mengen sind, und wird mit dem Operator ∪ gebildet. Der Schnitt (oder die Schnittmenge, die Durchschnittsmenge) enthält alle Elemente, die in beiden Mengen sind, und wird mit dem Operator ∩ gebildet. Als Merkhilfe für die Unterscheidung zwischen ∪ und ∩ kann man sich vorstellen, dass ∪ wie ein Behälter aussieht, der viele Elemente sammelt, bei ∩ fällt dagegen vieles heraus. Überlegen Sie wieder erst, bevor Sie sich die Lösungen ansehen.

Vereinigung:

Schnitt:

Man kann überprüfen, ob Mengen gleich oder ungleich sind:

Eine Menge A ist eine Teilmenge einer anderen Menge B, wenn alle Elemente von A auch in B enthalten sind:

Mengenkonstruktoren

Anstatt die Elemente von Mengen aufzuzählen, kann man kann man Mengen auch mit logischen Bedingungen definieren:

Dabei kann man als Bedingung alles verwenden, was man logisch eindeutig aufschreiben kann. Eine Einführung in Logik ist allerdings nicht in diesem Vorkurs enthalten. Die folgenden Beispiele zeigen, dass das in Python ähnlich aussieht. Sie brauchen dafür aber eine echte Python-Installation. Mit der Simulation auf dieser Webseite geht das nicht. (Wenn Sie Python nicht auf Ihrem Rechner installiert haben, können Sie sich dafür auch eine online Python-Sandbox suchen.)

{x for x in range(-5,6)}

{x for x in range(-5,6) if x % 2 == 0}

{2*x for x in range(-5,6)}

{(x,y) for x in range(-5,1) for y in range(0,6) if x == (-1)*y}

Da Mengenlehre nicht unbedingt zum Schulstoff gehört, reicht diese sehr kurze Einführung an dieser Stelle. Weitere Details zur Mengenlehre und zur Logik werden Sie im Studium lernen.

Aufgaben

Definieren Sie analog zu den Beispielen:

1. Menge der Zahlen zwischen 1 und 20.

2. Menge der ungeraden Zahlen zwischen 1 und 10.

3. Menge der Quadratzahlen zwischen 1 und 20, d.h. Zahlen für die gilt: x = y²

4. Menge der geraden Zahlen zwischen 1 und 10 vereinigt mit der Menge der ungeraden Zahlen zwischen 20 und 30.