Es gibt viele Anwendungsfälle, bei denen Sachverhalte mit Variablen modelliert werden. Dafür werden oft Gleichungen verwendet. Zum Beispiel könnte man an Quadraten interessiert sein, die eine Grundfläche von 100 m2 haben und dies durch eine Gleichung x2 = 100 modellieren. Oder man möchte einen Prozess modellieren, bei dem man für jedes x immer den doppelten y-Wert erhält, d.h. als Gleichung geschrieben: y = 2x. Bevor der Erfindung von Computern musste man Verfahren lernen, mit denen man solche Gleichungen von Hand umformen kann, zum Beispiel um herauszufinden, für welche Werte die Gleichung erfüllbar ist. Heutzutage braucht man solche Umformungen eigentlich nicht mehr von Hand auszuführen, da es dafür Computerprogramme gibt. Aber man muss immer noch verstehen, wie man Sachverhalte durch Gleichungen modelliert, welche Umformungsmöglichkeiten es gibt und wie man Ergebnisse des Computers überprüfen kann.
In einem CAS sind verschiedene Algorithmen zur Lösung verschiedener Typen von Gleichungen implementiert. Insbesondere in Python gibt es dafür gute Bibliotheken. In diesem Beispiel müssen Gleichungen so umgeformt werden, dass auf einer Seite 0 steht. D.h. x2 = 100 muss zu x2 - 100 = 0 umgeformt werden und y = 2x zu y - 2x = 0. Dann kann die Gleichung mit dem "solve"-Befehl nach X aufgelöst werden (verwenden Sie dabei als Variablen in diesem Kurs nur die Großbuchstaben X, Y oder Z):
In diesem Fall gibt es für die erste Gleichung zwei Lösungen (-10 und 10), von denen im oben genannten Anwendungsfall nur der Wert 10 relevant ist. Für die zweite Gleichung gibt es keinen einzelnen Lösungswert, sondern ein Verhältnis zwischen den Variablen nämlich, das ein x genau y/2 entspricht. (Widerspricht das dem oben modellierten Prozess, der für ein x den doppelten y-Wert liefern soll? Das kommt darauf an, was man genau mit "liefern" meint. Schauen Sie sich die graphische Darstellung im nächsten Abschnitt an und entscheiden Sie selbst, ob die Modellierung passt oder nicht.)
Formen Sie die folgenden Gleichungen so um, dass Sie darauf solve anwenden können, d.h. auf einer Seite muss 0 stehen. Zum Beispiel:
15x2 - 10 = 50
15x2 - 10 - 50 = 50 - 50 | auf beiden Seiten 50 abziehen
15x2 - 60 = 0
Überprüfen Sie dann das Ergebnis, das Sie mit Python erhalten, indem Sie es in die ursprüngliche Gleichung einsetzen:
Lösen Sie die folgenden Gleichungen auf die gleiche Art mit Python:
X2 - 5X = 7
X + 3(X - 5) = X - 2(X + 5)
X3 + 2X = 3X2
2X = 64
10(1-X) = 1/100
Für die graphische Darstellung von Gleichungen mit 2 Variablen gibt es in diesem Kurs den Befehl "zeichnen". In Python gibt es dafür andere, aber ähnliche Befehle. Sie können dafür auch Geogebra verwenden. Verwenden Sie hier die Kleinbuchstaben x und y. Zum Beispiel:
y = 2*xÜberlegen Sie jetzt, ob diese Darstellung einen Prozess modelliert, bei dem man für jedes x immer 2y erhält. Dies entspricht der Gleichung y = 2x und dazu äquivalent x = y/2. Es ist immer wichtig, dass man am Ende einer Rechnung noch mal schaut, ob ein Ergebnis überhaupt stimmen kann.
D.h. Gleichungen, bei denen die Variablen den Exponenten 1 haben. Ihre Graphen sind Geraden. Schauen Sie sich die Graphen dieser Gleichungen mit dem CAS an:
Was fällt Ihnen auf? Wann ist die Gerade steiler, flacher, steigt oder fällt? Wann verschiebt sich die Gerade entlang der X-Achse?
Variable können auch höhere Exponenten haben. Zum Beispiel y = x6 + 15x4 + x2 + x - 3 oder y = x2 + x - 3. Dabei ist die letztere eine quadratische Gleichung, da der höchste Exponent 2 ist.
Berechnen Sie die y-Werte für x = 2 und x = -2 und schauen Sie, zu welchem Graph die jeweils gehören. Was passiert mit den Graphen, wenn die Exponenten höher werden? Für welche Exponenten können negative y-Werte herauskommen?Schauen Sie sich Sie
Graphen der folgenden Gleichungen an:
Zur Erinnerung: x-z = 1/xz. Wie sehen die Graphen also aus, wenn die Exponenten kleiner als -1 sind? Stimmen die Graphen mit Ihrer Intuition bezüglich Brüchen überein: wann ist ein Bruch der Form 1/x größer als 1, zwischen 1 und -1 oder kleiner als -1?
D.h. Gleichungen, bei denen die Variable im Exponenten auftaucht. Vergleichen Sie die Graphen für y = 2x und y = x2.
Wenn man Gleichungen nicht per Computer sondern von Hand bearbeiten möchte, gibt es für jeden Typ von Gleichungen Lösungsverfahren, die man anwenden kann. Für alle Gleichungen gilt, dass man bei Umformungen immer auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens das Gleiche tun muss, damit die Gleichheit erhalten bleibt. Nicht alle Umformungen sind erlaubt, zum Beispiel darf man nicht mit 0 multiplizieren oder durch 0 teilen. Hier eine Übersicht über die Lösungsverfahren:
Die Liste ist nicht vollständig. Es gibt auch Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen, Integralen, Ableitungen und so weiter.
Man kann viel Zeit mit dem Üben der verschiedenen Verfahren verbringen. Allerdings sind vermutlich nicht alle gleich wichtig. Lineare Gleichungen sind tendenziell am Wichtigsten. Die wichtigen Fähigkeiten, die man für Umformungen benötigt (sowohl für Gleichungen als auch für andere mathematische Probleme) sind: 1. ein Gefühl dafür zu entwickeln, welches Verfahren wann sinnvoll ist und 2. beim Umformen komplexer Ausdrücke alle Rechenregeln richtig anzuwenden, d.h. auch nichts zu übersehen, keine Vorzeichen zu vertauschen, richtig zu klammern usw. Falls Sie insbesondere in der 2. Fähigkeit nicht sicher sind, sollten Sie weitere Übungsaufgaben zum Umformen von Gleichungen bearbeiten (zum Beispiel in dem empfohlenen Buch "Vorkurs Mathematik"). Vermutlich brauchen Sie dafür mehr Zeit, als Sie in diesem Vorkurs haben. Das sollten Sie also auch in Zukunft noch weiter trainieren.
Hier ist ein Beispiel, bei dem alle Umformungen falsch sind. Finden Sie jeweils den Fehler:
10x + 11 = 16 | 6 abziehenDas CAS zeigt, dass die Umformungen falsch sind, weil sich bei richtigen Umformungen das Ergebnis nicht ändern darf: